知识引导

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整除的概念

若a÷b=c(a、b、c均为正整数，且无余数)，那就说明a能被b整除，或b能把a整除。

整除的核心

整除思想主要是通过分析题干信息，判断题干数据中隐含的整除特性，从而帮助我们快速排除错误选项的技巧性思想。

整除关系的确定

常见确定整除关系有两种方式：

1、出现特殊文字表述，如：“每”、“平均”、“倍”等字眼。

【示例】若干苹果，每9个装一盒，最后还剩1个苹果。请分析本题的整除关系。

中公解析：苹果总数=9×所装盒数+1，即苹果总数减1后能被9整除。

2、出现特殊数据形式，如出现分数、比例、百分数、小数等。

【示例】某单位全体职工中有37.5%的人是女性。请分析本题的整除关系。

中公解析：即该单位总人数能被8整除，女性人数能被3整除，男性人数能被8-3=5整除。

练习题

例1

单位安排职工到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐;如果每5人一条长椅，则刚好空出两条长椅，听报告的职工有多少人?

A.126 B.135 C.146 D.152

【中公解析】B。由题干信息可知，该题属于不同方案类型的题目，我们直接想到的是可以用方程的思想解决这个问题，但其实这道例题的题干中出现“每”，可以考虑用整除思想更快得到解答。“每3人坐一条长椅，剩下48人没有坐”，说明(总人数-48)能被3整除，48能被3整除，也就意味着总人数能被3整除，观察选项，排除C、D选项。“每5人一条长椅，刚好空出两条长椅”，其实也能表示为恰好坐满了(长椅数-2)张长椅，那就意味着总人数能被5整除，观察选项只能选择B选项。

例2

一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五;如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有多少名?

A.36 B.40 C.48 D.72

【中公解析】B。由题干信息可知，题干出现多个分数，可以考虑整除思想快速解题。由“有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五”，说明(原来员工总数-4)能被9整除。验证选项，只有当原有员工数量为40时，(40-4)=36，能被9整除，因此B选项符合条件。

例3

若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住，如果每间住8人，则有一间房只有4人住，问共有多少学生?

A.30 B.34 C.40 D.44

【中公解析】D。

方法一：根据题干可知，两种安排方案中学生人数是不变的，可围绕着学生人数构造等量关系。设房间数为x，得到4x+20=8(x-1)+4，求得x=6，进而得到学生人数为4×6+20=44人，选D。

方法二：题干中出现“每”字眼，考虑用整除。根据每间住4人，则有20人没地方住可知，学生人数减20能被4整除，20能被4整除，即人数能被4整除。排除A、B选项。根据每间住8人，则有一间房只有4人住可知，学生人数减4能被8整除，只有D符合条件。

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